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Raiz quadrada, cúbica e de índice n, com forma simplificada e prova real
A raiz quadrada de um número é o valor que, multiplicado por si mesmo, devolve esse número: √144 = 12, porque 12 × 12 = 144. Quando a raiz não é exata, a calculadora mostra as casas decimais e a forma simplificada: √72 = 6√2 ≈ 8,485281, porque 72 = 36 × 2 e √36 = 6. A raiz cúbica de 125 é 5, e existe também para números negativos: ³√−8 = −2.
A raiz quadrada de 2 é 1,4142, a de 3 é 1,7321 e a de 8 é 2,8284, que simplificada se escreve 2√2. Simplificar uma raiz é tirar para fora os fatores que são quadrados perfeitos: √72 = √(36 × 2) = 6√2 ≈ 8,4853. A raiz cúbica de 27 é 3 e a de 125 é 5.
| Número | Raiz quadrada | Forma simplificada | Raiz cúbica |
|---|---|---|---|
| 2 | 1,4142 | √2 | 1,2599 |
| 3 | 1,7321 | √3 | 1,4422 |
| 5 | 2,2361 | √5 | 1,71 |
| 8 | 2,8284 | 2√2 | 2 |
| 10 | 3,1623 | √10 | 2,1544 |
| 12 | 3,4641 | 2√3 | 2,2894 |
| 18 | 4,2426 | 3√2 | 2,6207 |
| 20 | 4,4721 | 2√5 | 2,7144 |
| 27 | 5,1962 | 3√3 | 3 |
| 32 | 5,6569 | 4√2 | 3,1748 |
| 50 | 7,0711 | 5√2 | 3,684 |
| 72 | 8,4853 | 6√2 | 4,1602 |
| 75 | 8,6603 | 5√3 | 4,2172 |
| 98 | 9,8995 | 7√2 | 4,6104 |
| 125 | 11,1803 | 5√5 | 5 |
| 200 | 14,1421 | 10√2 | 5,848 |
A raiz quadrada de um número é o valor positivo que, multiplicado por si mesmo, devolve esse número. √49 = 7, porque 7 × 7 = 49, e √144 = 12, porque 12 × 12 = 144. É a operação inversa de elevar ao quadrado. O símbolo √ chama-se radical e o número que está dentro dele, radicando.
Procure o número que, multiplicado por si mesmo, chega ao radicando. Para quadrados perfeitos a conta é exata: √64 = 8, √100 = 10, √400 = 20. Quando não é exata, fatora-se: √72 = √(36 × 2) = 6√2 ≈ 8,485281. A calculadora mostra o valor decimal, a forma simplificada e a prova real.
A raiz quadrada de 144 é 12, porque 12 × 12 = 144. É um quadrado perfeito, então o resultado é um número inteiro, sem casas decimais. Fatorando: 144 = 2⁴ × 3², e a raiz tira metade de cada expoente, o que dá 2² × 3 = 12. A raiz cúbica de 144, por comparação, é cerca de 5,241483.
A raiz quadrada de 2 vale aproximadamente 1,414214 e é um número irracional: tem infinitas casas decimais que nunca se repetem, então nenhuma fração exata a representa. É a medida da diagonal de um quadrado de lado 1. Elevando ao quadrado, 1,414214 × 1,414214 dá 2,000001 — a diferença é só o arredondamento.
A raiz quadrada de 100 é 10, porque 10 × 10 = 100. Como 100 é um quadrado perfeito, o resultado é inteiro. Vale lembrar que −10 também elevado ao quadrado dá 100, mas o símbolo √ indica sempre a raiz positiva; as duas soluções aparecem quando se resolve a equação x² = 100, que dá x = ±10.
A raiz quadrada de 8 vale aproximadamente 2,828427 e simplifica para 2√2, porque 8 = 4 × 2 e √4 = 2. Não é um quadrado perfeito, já que 2 × 2 = 4 e 3 × 3 = 9, então o resultado fica entre 2 e 3. A raiz cúbica de 8, essa sim, é exata: ³√8 = 2.
A raiz quadrada de 5 vale aproximadamente 2,236068 e é irracional. Fica entre 2 e 3, mais perto de 2, porque 2² = 4 e 3² = 9. Não simplifica, já que 5 é primo e não tem nenhum fator quadrado perfeito. A raiz de 10 vale cerca de 3,162278 e a de 6, cerca de 2,449490.
O símbolo é √, chamado radical. O número dentro dele é o radicando e o número pequeno à esquerda, o índice: ³√8 é a raiz cúbica de 8. Quando não há índice escrito, entende-se 2, ou seja, raiz quadrada. Outra escrita equivalente é a potência de expoente fracionário: √x é x elevado a 1/2.
Nos números reais não existe: nenhum número real multiplicado por si mesmo dá um resultado negativo, porque menos vezes menos dá mais. Nos números complexos, √−2 é igual a i√2, cerca de 1,414214i, em que i é a unidade imaginária definida por i² = −1. Raízes de índice ímpar, ao contrário, aceitam negativos: ³√−8 = −2.
Digite o radicando, escolha o índice e quantas casas decimais quer ver. A raiz quadrada de um número é o valor que, multiplicado por si mesmo, devolve esse número: √49 = 7, porque 7 × 7 = 49, e √144 = 12, porque 12 × 12 = 144. A calculadora mostra ainda a prova real, elevando o resultado de volta à potência.
Se o radicando é um quadrado perfeito, a raiz é um número inteiro: √64 = 8, √100 = 10, √400 = 20, √1764 = 42. Nos outros casos a raiz quadrada de um número inteiro é irracional, com infinitas casas decimais que não se repetem: √2 ≈ 1,414214, √3 ≈ 1,732051, √5 ≈ 2,236068 e √10 ≈ 3,162278.
Fatora-se o radicando procurando o maior fator que seja um quadrado perfeito e tira-se ele para fora do radical. √72 = √(36 × 2) = 6√2 ≈ 8,485281; √50 = √(25 × 2) = 5√2. Na raiz cúbica procuram-se os cubos perfeitos: ³√54 = ³√(27 × 2) = 3³√2. Quando não existe um fator assim, como em √17, a raiz não simplifica.
A raiz cúbica existe também para números negativos, porque um número negativo elevado ao cubo continua negativo: ³√−8 = −2 e ³√125 = 5. Já as raízes de índice par não existem nos números reais quando o radicando é negativo: a raiz quadrada de −4 não é um número real, e é aí que entram os números complexos.
Toda raiz pode ser escrita como potência de expoente fracionário: a raiz de índice n de x é x elevado a 1/n. Por isso ⁴√81 = 81^(1/4) = 3. A raiz de um produto é o produto das raízes, √(4 × 9) = √4 × √9 = 6, mas isso não vale para a soma: √(9 + 16) = 5, e não 3 + 4. Para potências há a calculadora online com a tecla xʸ.