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Flächeninhalt, Seiten, Winkel & Umfang – SSS, SAS, ASA, AAS, Pythagoras
Dreieck berechnen ohne Formelsammlung: Seiten und Winkel eingeben (SSS, SAS, ASA oder rechtwinklig), der Rechner liefert alle fehlenden Maße, den Flächeninhalt und den Umfang. Im Hintergrund arbeiten Sinussatz, Kosinussatz und der Satz des Pythagoras.
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Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist Grundseite mal Höhe geteilt durch 2: Bei 8 cm Grundseite und 5 cm Höhe sind es 20 cm². Die Höhe steht dabei senkrecht auf der Grundseite. Kennst du keine Höhe, sondern nur Seiten oder Winkel, rechnet der Dreiecksrechner die Fläche trotzdem aus, im Modus SSS mit drei Seiten, SWS mit zwei Seiten und Winkel oder WSW mit zwei Winkeln und einer Seite.
Mit drei Seiten nimmt man die Heron-Formel: Zuerst den halben Umfang s = (a + b + c) / 2, dann die Fläche als Wurzel aus s · (s − a) · (s − b) · (s − c). Für 5, 6 und 7 cm ist s = 9 und die Fläche √216 ≈ 14,70 cm². Der Rechner nutzt diese Formel im Modus SSS und prüft vorher, ob die drei Seiten überhaupt ein Dreieck bilden.
Ohne Höhe hilft die Formel Fläche = ½ · a · b · sin γ, wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen bekannt sind. Bei a = 6 cm, b = 8 cm und γ = 40° ergibt das 15,43 cm². Sind alle drei Seiten bekannt, geht es mit der Heron-Formel. Im Rechner wählst du dafür den Modus SWS beziehungsweise SSS und bekommst zusätzlich alle fehlenden Seiten und Winkel.
Die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer 180 Grad. Kennst du zwei Winkel, ist der dritte 180 minus beide: Bei 50° und 60° bleiben 70°. Im rechtwinkligen Dreieck liegt ein Winkel bei 90°, die beiden anderen teilen sich die restlichen 90°. Der Rechner prüft im Modus WSW genau diese Summe und meldet einen Fehler, wenn zwei Winkel zusammen schon 180° oder mehr haben.
Die Höhe ist doppelte Fläche geteilt durch die Grundseite: h = 2 · A / g. Beim Dreieck mit den Seiten 5, 6 und 7 cm liefert der Rechner eine Fläche von 14,70 cm², die Höhe auf die 7-cm-Seite ist damit 2 · 14,70 / 7 ≈ 4,20 cm. Auf die kürzeren Seiten fällt die Höhe entsprechend länger aus, auf die 5-cm-Seite sind es etwa 5,88 cm.
Für ein gleichseitiges Dreieck gilt Fläche = a² · √3 / 4, also etwa 0,433 · a². Bei 6 cm Seitenlänge sind es 15,59 cm², die Höhe beträgt a · √3 / 2 ≈ 5,20 cm. Alle drei Winkel liegen bei 60°. Im Rechner gibst du im Modus SSS dreimal dieselbe Seite ein und erhältst Fläche, Umfang von 18 cm und die Winkel direkt.
Kennst du alle drei Seiten, liefert der Kosinussatz jeden Winkel: cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2bc). Im Modus SSS rechnet der Dreiecksrechner das für dich, bei 3, 4 und 5 cm zeigt er 36,8699°, 53,1301° und 90°. Im rechtwinkligen Dreieck genügt der Tangens: arctan(3 ÷ 4) = 36,87°. Den letzten Winkel liefert immer die Winkelsumme von 180°, im Modus WSW gibst du deshalb nur zwei Winkel ein.
Der Dreiecksrechner auf simple-calculator.online ist ein leistungsstarkes Werkzeug, mit dem Sie alle relevanten Größen eines beliebigen Dreiecks ermitteln können – ganz ohne Stift, Papier oder komplizierte Tabellenwerke. Egal ob Sie Schüler, Student, Handwerker oder einfach neugierig sind: Mit nur wenigen Eingaben erhalten Sie sofort alle Seiten, alle Winkel, den Flächeninhalt und den Umfang. Der Rechner unterstützt die drei gängigsten Eingabemodi – SSS, SAS und ASA – und deckt damit nahezu jede Situation ab, in der ein Dreieck vollständig beschrieben werden muss.
Dreiecke begegnen uns überall: in der Architektur, im Ingenieurbau, in der Navigation und sogar beim Heimwerken. Wer ein Dach plant, eine Treppe berechnet oder ein Grundstück vermisst, arbeitet früher oder später mit dreieckigen Flächen. Die manuelle Berechnung erfordert Kenntnisse des Kosinussatzes, des Sinussatzes und der Heron-Formel – und ist fehleranfällig. Unser Dreieck-Rechner übernimmt all diese Schritte automatisch und liefert in Sekundenbruchteilen ein vollständiges Ergebnis.
Je nachdem, welche Informationen über das Dreieck bereits bekannt sind, kommt eine andere mathematische Methode zum Einsatz. Der Rechner erkennt den Modus automatisch anhand Ihrer Eingaben.
Wenn alle drei Seiten a, b und c gegeben sind, werden die Winkel mithilfe des Kosinussatzes berechnet:
Der dritte Winkel ergibt sich automatisch, da die Winkelsumme im Dreieck stets 180° beträgt.
Sind zwei Seiten und der dazwischenliegende Winkel bekannt, wird zunächst die dritte Seite über den Kosinussatz berechnet:
Anschließend lassen sich die fehlenden Winkel mit dem Sinussatz bestimmen.
Beim ASA-Modus sind zwei Winkel und die zwischen ihnen liegende Seite gegeben. Der dritte Winkel ergibt sich direkt aus der Winkelsumme (180° − A − B). Die verbleibenden Seiten werden dann über den Sinussatz berechnet:
Einen eigenen AAS-Modus (zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite) gibt es nicht: Berechnen Sie zuerst den dritten Winkel (180° − A − B), dann liegt die bekannte Seite zwischen zwei bekannten Winkeln und der ASA-Modus lässt sich verwenden.
Sobald alle drei Seiten bekannt sind, berechnet der Rechner den Flächeninhalt mit der eleganten Heron-Formel:
Der Umfang ergibt sich schlicht als Summe aller drei Seiten: U = a + b + c.
Die Bedienung des Dreieck-Rechners ist denkbar einfach. Folgen Sie diesen Schritten:
Ein Zimmermann möchte die Winkel eines Dreieckdachs prüfen. Die drei Sparrenlängen betragen a = 5 m, b = 5 m und c = 6 m. Er gibt diese Werte im SSS-Modus ein. Der Rechner berechnet:
Mit diesen Werten kann der Zimmermann prüfen, ob das Dach korrekt konstruiert ist.
Eine Gärtnerin möchte eine dreieckige Rasenfläche berechnen. Sie kennt zwei Seiten: a = 8 m und b = 10 m, sowie den eingeschlossenen Winkel C = 60°. Im SAS-Modus erhält sie:
So weiß sie genau, wie viel Rasensamen und wie viel Zaunmaterial sie benötigt.
Ein Segelboot befindet sich an einem bekannten Punkt. Von dort aus sind zwei Leuchttürme in Winkeln von A = 45° und B = 70° sichtbar, und die Entfernung zwischen den beiden Leuchttürmen beträgt c = 3 km. Im ASA-Modus berechnet der Navigator:
Diese Werte helfen dem Segler, seine genaue Position zu bestimmen.
Ja, absolut. Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Spezialfall, bei dem ein Winkel genau 90° beträgt. Sie können im SSS-Modus die drei Seiten eingeben oder im SAS-Modus einen 90°-Winkel angeben. Der Rechner wendet automatisch den Kosinussatz an, der im rechtwinkligen Fall identisch mit dem Satz des Pythagoras (c² = a² + b²) ist. Das Ergebnis ist identisch – der Rechner liefert alle fehlenden Werte zuverlässig.
Nicht jede Kombination von Seiten und Winkeln ergibt ein geometrisch mögliches Dreieck. Zum Beispiel muss die Summe zweier Seiten immer größer sein als die dritte Seite (Dreiecksungleichung). Außerdem müssen alle Winkel positiv sein und ihre Summe muss genau 180° ergeben. Gibt es einen Widerspruch, zeigt der Rechner eine Fehlermeldung und erklärt, warum die eingegebenen Werte kein gültiges Dreieck bilden können.
Der Rechner ist einheitenunabhängig. Sie können Seiten in Metern, Zentimetern, Kilometern oder jeder anderen Längeneinheit eingeben – das Ergebnis wird in derselben Einheit ausgegeben. Winkel werden stets in Grad (°) eingegeben und angezeigt. Achten Sie lediglich darauf, innerhalb einer Berechnung immer dieselbe Längeneinheit zu verwenden, damit die Ergebnisse konsistent und korrekt sind.