Darmowe kalkulatory online
Boki, kąty, pole i obwód – SSS, SAS, ASA, AAS, Pitagoras
Ten kalkulator rozwiązuje każdy trójkąt w całości — wystarczy podać dowolną kombinację boków i kątów (SSS, SAS, ASA, AAS lub trójkąt prostokątny), aby natychmiast otrzymać wszystkie brakujące wartości. W zależności od wprowadzonych danych stosuje twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów lub twierdzenie Pitagorasa. Pole i obwód są obliczane automatycznie.
Do obliczenia pola wystarczy kalkulator, w którym podajesz podstawę i wysokość albo dwa boki z kątem między nimi — pole to połowa iloczynu podstawy i wysokości. Jeśli znasz tylko trzy boki, stosuje się wzór Herona.
Trzeci bok obliczysz z twierdzenia cosinusów, jeśli znasz dwa boki i kąt między nimi: kwadrat szukanego boku równa się sumie kwadratów pozostałych boków minus podwojony ich iloczyn pomnożony przez cosinus tego kąta. W trójkącie prostokątnym wystarczy twierdzenie Pitagorasa.
W trójkącie o kątach 30, 60 i 90 stopni krótsza przyprostokątna jest połową przeciwprostokątnej, a dłuższa przyprostokątna to krótsza pomnożona przez pierwiastek z trzech. Znając jeden bok, wyliczysz z tych proporcji pozostałe.
Trójkąt jest w pełni określony, gdy znasz trzy niezależne dane, na przykład trzy boki, dwa boki z kątem lub bok z dwoma kątami. Brakujące elementy wyliczasz z twierdzenia sinusów, twierdzenia cosinusów oraz z faktu, że suma kątów w trójkącie jest stała.
W trójkącie o kątach 45, 45 i 90 stopni obie przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna to przyprostokątna pomnożona przez pierwiastek z dwóch. Dzieląc przeciwprostokątną przez pierwiastek z dwóch, otrzymasz długość przyprostokątnej.
Znając trzy boki, każdy kąt wyliczasz z twierdzenia cosinusów: cosinus kąta równa się sumie kwadratów boków przyległych minus kwadrat boku przeciwległego, podzielonej przez podwojony iloczyn boków przyległych. Kąt otrzymujesz przez funkcję arccos, a ostatni kąt z sumy kątów w trójkącie.
Podstawowe wzory to twierdzenie cosinusów (kąt z trzech boków), twierdzenie sinusów (stosunek boku do sinusa kąta jest stały) oraz zależność, że suma trzech kątów w trójkącie jest stała. W trójkącie prostokątnym wystarczają funkcje sinus, cosinus i tangens.
Użyj twierdzenia cosinusów: policz cosinus kąta ze wzoru z trzema bokami, a następnie zastosuj funkcję odwrotną arccos. W trójkącie prostokątnym prościej jest skorzystać z arctan ilorazu przyprostokątnych albo z arcsin stosunku przyprostokątnej do przeciwprostokątnej.
Kąty liczy się z relacji między bokami: twierdzenie cosinusów daje kąt z trzech boków, twierdzenie sinusów pozwala znaleźć kąt, gdy znasz dwa boki i jeden kąt. Ostatni kąt zawsze uzupełnia się do stałej sumy kątów w trójkącie.
Trójkąt to jedna z najbardziej podstawowych figur geometrycznych, a mimo to jego obliczenia potrafią sprawić niemały kłopot – zarówno uczniom, jak i studentom czy inżynierom. Kalkulator trójkąta dostępny na tej stronie rozwiązuje ten problem błyskawicznie: wystarczy podać znane wartości, a narzędzie automatycznie wyznacza wszystkie brakujące boki, kąty, pole powierzchni i obwód. Obsługuje trzy najpopularniejsze przypadki: SSS (trzy boki), SAS (dwa boki i kąt między nimi) oraz ASA (dwa kąty i bok). To idealne rozwiązanie do szybkiej weryfikacji zadań szkolnych, projektów budowlanych, a nawet obliczeń nawigacyjnych.
W zależności od podanych danych kalkulator korzysta z różnych twierdzeń matematycznych. Poniżej znajdziesz opis każdej metody, abyś dokładnie wiedział, co dzieje się „pod maską".
Gdy znamy długości wszystkich trzech boków a, b i c, kąty wyznaczamy za pomocą twierdzenia cosinusów:
Jest to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa – gdy jeden z kątów wynosi 90°, wzór upraszcza się do klasycznego a² + b² = c².
Znamy boki a, b oraz zawarty między nimi kąt C. Trzeci bok obliczamy ponownie z twierdzenia cosinusów: c² = a² + b² − 2ab · cos C. Następnie pozostałe kąty wyznaczamy albo z tego samego twierdzenia, albo z twierdzenia sinusów: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
Gdy znamy kąty A, B i bok c między nimi, trzeci kąt to po prostu C = 180° − A − B. Brakujące boki obliczamy z twierdzenia sinusów: a = c · sin A / sin C, b = c · sin B / sin C.
Po wyznaczeniu wszystkich boków pole trójkąta liczymy wzorem Herona, który nie wymaga znajomości wysokości:
Alternatywnie pole można obliczyć jako P = ½ · a · b · sin C, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi – kalkulator stosuje obie metody i krzyżowo weryfikuje wyniki.
Geodeta zmierzył trzy boki trójkątnej działki: a = 35 m, b = 42 m, c = 28 m. Chcemy poznać kąty i pole działki. Wybieramy tryb SSS, wpisujemy wartości i otrzymujemy:
Dzięki temu inwestor od razu wie, ile ogrodzenia potrzebuje i jaką powierzchnię ma do zagospodarowania.
Dekarz projektuje trójkątny przekrój dachu. Dwa krokwie mają długość a = 6 m i b = 6 m, a kąt między nimi u kalenicy wynosi C = 40°. Tryb SAS daje wyniki:
Znajomość boku c pozwala dokładnie oszacować długość belki poziomej, a pole przekroju przydaje się przy obliczaniu izolacji termicznej.
W zadaniu maturalnym podano: kąt A = 50°, kąt B = 70° oraz bok c = 10 cm leżący między tymi kątami. Kalkulator w trybie ASA oblicza:
Wynik pojawia się w ułamku sekundy – idealnie do sprawdzenia własnych obliczeń przed oddaniem pracy.
Tak, oczywiście. Jeśli jeden z kątów wynosi dokładnie 90°, kalkulator rozpoznaje trójkąt prostokątny i stosuje twierdzenie Pitagorasa jako uproszczony przypadek twierdzenia cosinusów. Możesz np. podać dwie przyprostokątne w trybie SAS z kątem 90° i natychmiast uzyskać długość przeciwprostokątnej oraz pole trójkąta.
Kalkulator automatycznie sprawdza warunki istnienia trójkąta. W przypadku SSS weryfikuje, czy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego. Przy kątach kontroluje, czy ich suma nie przekracza 180°. Jeśli dane są błędne, narzędzie wyświetli czytelny komunikat o błędzie zamiast niepoprawnego wyniku.
Kalkulator nie narzuca konkretnych jednostek – możesz używać metrów, centymetrów, milimetrów czy stóp, pod warunkiem że wszystkie boki podasz w tej samej jednostce. Wyniki są zaokrąglane do czterech miejsc po przecinku, co jest wystarczające dla zdecydowanej większości zastosowań inżynierskich i szkolnych. Kąty zawsze podajemy i otrzymujemy w stopniach dziesiętnych.