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Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de até dez números, com fatoração e algoritmo de Euclides
O MMC é o menor número divisível por todos, o MDC é o maior número que divide todos. Para 12, 18 e 30: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5. O MDC pega os fatores comuns com o menor expoente, 2 × 3 = 6; o MMC pega todos os fatores com o maior expoente, 2² × 3² × 5 = 180.
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Fatore cada número em primos e pegue todos os fatores, comuns e não comuns, com o maior expoente. Para 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5, o MMC é 2² × 3² × 5 = 180. Esse é o menor número divisível por todos os três, e serve de denominador comum nas frações.
Fatore os números e pegue só os fatores comuns, cada um com o menor expoente. Entre 12, 18 e 30 o comum é 2 × 3 = 6, o maior número que divide os três sem resto. Quando não existe fator comum, o MDC é 1 e os números são primos entre si, como 8 e 9.
O MDC é o maior número que divide todos; o MMC é o menor número que todos dividem. Para 12 e 18, o MDC é 6 e o MMC é 36. O MDC serve para simplificar frações e repartir em partes iguais; o MMC serve para achar denominador comum e para problemas de encontros periódicos.
Calcule o MMC dos denominadores e use-o como denominador comum. Para 1/12 + 1/18, o MMC de 12 e 18 é 36: as frações viram 3/36 e 2/36, e a soma é 5/36. Para simplificar o resultado, divida numerador e denominador pelo MDC deles.
Divida o maior pelo menor, depois o divisor pelo resto, e repita até o resto ser zero. O último resto diferente de zero é o MDC. Para 48 e 18: 48 = 18 × 2 + 12, 18 = 12 × 1 + 6, 12 = 6 × 2 + 0, então o MDC é 6. É bem mais rápido que fatorar números grandes.
É 300. Como 12 = 2² × 3 e 25 = 5², não existe fator comum: os dois são primos entre si, o MDC é 1 e o MMC é simplesmente o produto, 12 × 25 = 300. Sempre que o MDC de dois números é 1, o MMC deles é o produto dos dois.
O mínimo múltiplo comum é o menor número que é múltiplo de todos. Fatore cada número em primos e pegue todos os fatores, comuns e não comuns, com o maior expoente. Para 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5, o MMC é 2² × 3² × 5 = 180. É o número que serve de denominador comum ao somar 1/12 + 1/18 + 1/30.
O máximo divisor comum é o maior número que divide todos sem deixar resto. Na fatoração, pegue só os fatores comuns e com o menor expoente: entre 12, 18 e 30 o comum é 2 × 3 = 6. Quando não há fator comum, o MDC é 1 e os números são primos entre si, como 8 e 9.
Com dois números há um caminho mais curto: divida o maior pelo menor, depois o divisor pelo resto, e repita. O último resto diferente de zero é o MDC. Para 48 e 18: 48 = 18 × 2 + 12, 18 = 12 × 1 + 6, 12 = 6 × 2 + 0, então o MDC é 6. A calculadora mostra cada linha dessa divisão.
Para dois números vale sempre MMC × MDC = a × b. Com 12 e 18: MDC 6 e MMC 36, e 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Por isso, sabendo um, o outro sai por divisão. Para três ou mais números essa relação não vale, e aí a fatoração é o caminho seguro.