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Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple avec facteurs premiers et algorithme d’Euclide
Le PGCD (plus grand commun diviseur) est le plus grand nombre qui divise tous les nombres donnés, et le PPCM (plus petit commun multiple) le plus petit nombre divisible par chacun d'eux. Pour 12, 18 et 30 : 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² et 30 = 2 × 3 × 5, donc le PGCD vaut 2 × 3 = 6 et le PPCM 2² × 3² × 5 = 180.
Décomposez les nombres en facteurs premiers et multipliez les facteurs communs, chacun avec son plus petit exposant. Pour 24 = 2³ × 3 et 36 = 2² × 3², les facteurs communs sont 2² et 3 : le PGCD vaut 2² × 3 = 12. Avec de grands nombres, l'algorithme d'Euclide est plus rapide : le dernier reste non nul des divisions successives est le PGCD.
Soustrayez le plus petit nombre du plus grand, remplacez le plus grand par la différence et recommencez jusqu'à obtenir deux nombres égaux : c'est le PGCD. Pour 60 et 42 : 60 − 42 = 18 ; 42 − 18 = 24 ; 24 − 18 = 6 ; 18 − 6 = 12 ; 12 − 6 = 6. Les deux nombres valent 6, donc le PGCD de 60 et 42 est 6.
Le PGCD de 24 et 36 est 12. Par l'algorithme d'Euclide : 36 = 24 × 1 + 12, puis 24 = 12 × 2 + 0 ; le dernier reste non nul est 12. Par les facteurs premiers : 24 = 2³ × 3 et 36 = 2² × 3², donc 2² × 3 = 12. Le PPCM de 24 et 36 vaut 24 × 36 ÷ 12 = 72.
Divisez le plus grand nombre par le plus petit et notez le reste. Divisez ensuite le diviseur par ce reste, et continuez jusqu'à obtenir un reste nul : le dernier reste non nul est le PGCD. Pour 84 et 36 : 84 = 36 × 2 + 12, puis 36 = 12 × 3 + 0. Le PGCD vaut 12 et le PPCM 84 × 36 ÷ 12 = 252.
Décomposez chaque nombre en facteurs premiers et multipliez tous les facteurs, communs ou non, chacun avec son plus grand exposant. Pour 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3², le PPCM vaut 2² × 3² = 36. Avec deux nombres, vous pouvez aussi diviser leur produit par leur PGCD : 12 × 18 ÷ 6 = 36.
Non, 1 n'est pas un nombre premier. Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même, alors que 1 n'a qu'un seul diviseur. Le plus petit nombre premier est donc 2, qui est aussi le seul nombre premier pair. Jusqu'à 100, on compte 25 nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.
Ce calculateur donne le PGCD (plus grand commun diviseur) et le PPCM (plus petit commun multiple) de 2 à 10 nombres entiers et montre la méthode : la décomposition de chaque nombre en facteurs premiers, les facteurs retenus et, pour deux nombres, les étapes de l'algorithme d'Euclide. Il sert à faire un exercice, à réviser un contrôle ou à vérifier un résultat.
Avec de grands nombres, les divisions sont plus rapides. Divisez le plus grand nombre par le plus petit et gardez le reste ; recommencez avec le diviseur et le reste jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. Pour 84 et 36 : 84 = 36 × 2 + 12 et 36 = 12 × 3 + 0, donc le PGCD vaut 12. Ensuite, PPCM = 84 × 36 ÷ 12 = 252.
| Nombres | PGCD | PPCM |
|---|---|---|
| 2 ; 4 | 2 | 4 |
| 4 ; 6 | 2 | 12 |
| 6 ; 8 | 2 | 24 |
| 8 ; 12 | 4 | 24 |
| 12 ; 18 | 6 | 36 |
| 15 ; 20 | 5 | 60 |
| 42 ; 60 | 6 | 420 |
| 3 ; 5 ; 7 | 1 | 105 |
| 12 ; 18 ; 30 | 6 | 180 |
Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Il y en a 25 jusqu'à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97. Deux nombres dont le seul diviseur commun est 1, comme 8 et 15, sont premiers entre eux : leur PGCD vaut 1 et leur PPCM est leur produit, 120. Le calculateur accepte des nombres jusqu'à 1 000 000 000 000.