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mcm y MCD con descomposición en factores primos
El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor número que es múltiplo de todos los números dados, y el máximo común divisor (MCD) el mayor número que los divide a todos. Para 12, 18 y 30: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² y 30 = 2 · 3 · 5, así que el MCD es 2 · 3 = 6 y el mcm es 2² · 3² · 5 = 180.
Para sacar el mínimo común múltiplo descompón cada número en factores primos y multiplica todos los factores, comunes y no comunes, con el mayor exponente. Con 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3², el mcm es 2² · 3² = 36. Otra forma rápida con dos números: mcm = a × b ÷ MCD, es decir, 12 × 18 ÷ 6 = 36.
El MCD de 24 y 30 es 6. Descompón ambos números: 24 = 2³ · 3 y 30 = 2 · 3 · 5. Los factores comunes con el menor exponente son 2 y 3, y 2 × 3 = 6. Con el algoritmo de Euclides: 30 = 24 × 1 + 6 y 24 = 6 × 4 + 0; el último resto distinto de cero, 6, es el MCD.
El mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24. Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24… y los de 8 son 8, 16, 24…, y el primero que coincide es 24. Con factores primos: 6 = 2 · 3 y 8 = 2³, así que el mcm es 2³ · 3 = 24. El MCD de 6 y 8 es 2.
El mínimo común múltiplo, mcm, de varios números es el menor número que es múltiplo de todos ellos. Ejemplo 1: el mcm de 4 y 10 es 20, porque 20 es el primer número divisible entre 4 y entre 10. Ejemplo 2: el mcm de 3, 5 y 6 es 30. Sirve, por ejemplo, para sumar fracciones con distinto denominador.
El máximo común divisor, MCD, es el mayor número que divide a la vez a varios números sin dejar resto. El MCD de 12 y 18 es 6, el de 20 y 35 es 5 y el de 8 y 15 es 1, porque no tienen factores comunes. Se usa, por ejemplo, para simplificar fracciones: 12/18 dividido entre 6 queda en 2/3.
Del 1 al 100 hay 25 números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Un número primo solo es divisible entre 1 y entre sí mismo. El 1 no se considera primo y el 2 es el único primo par.
Esta calculadora obtiene el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (MCD) de 2 a 10 números enteros y te enseña el procedimiento: la descomposición de cada número en factores primos, qué factores se eligen y, con dos números, los pasos del algoritmo de Euclides. Sirve para hacer los deberes, repasar para un examen o comprobar un resultado.
Con números grandes es más rápido dividir. Divide el mayor entre el menor y quédate con el resto; repite con el divisor y el resto hasta que el resto sea cero. El último resto distinto de cero es el MCD. Para 84 y 36: 84 = 36 × 2 + 12 y 36 = 12 × 3 + 0, así que el MCD es 12. Después, mcm = 84 × 36 ÷ 12 = 252.
| Números | MCD | mcm |
|---|---|---|
| 2, 4 | 2 | 4 |
| 4, 6 | 2 | 12 |
| 6, 8 | 2 | 24 |
| 8, 12 | 4 | 24 |
| 12, 18 | 6 | 36 |
| 15, 20 | 5 | 60 |
| 24, 36 | 12 | 72 |
| 3, 5, 7 | 1 | 105 |
| 12, 18, 30 | 6 | 180 |
La calculadora admite números de hasta 1.000.000.000.000. Los números cuyo único divisor común es el 1, como 8 y 15, se llaman primos entre sí: su MCD es 1 y su mcm es su producto, 120.