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Steigung und Gefälle in Prozent und Grad, aus Höhe und Länge oder zwei Punkten
Steigung in Prozent = Höhenunterschied ÷ waagerechte Länge × 100. Der Winkel ist der Arkustangens davon: 10 % entsprechen 5,71 °, 100 % sind 45 °. Der Rechner ermittelt Steigung und Gefälle aus Höhe und Länge, rechnet Prozent, Grad, Promille und Verhältnis ineinander um und bestimmt die Steigung einer Geraden aus zwei Punkten.
10 % Steigung entsprechen 5,71 °: 10 m Höhenunterschied auf 100 m waagerechter Strecke, als Verhältnis 1 : 10. 100 % Steigung sind 45 °, nicht 90 °. Formel: Steigung in % = Höhe ÷ waagerechte Länge × 100, Winkel = arctan(Prozent ÷ 100). Umgekehrt ergeben 5 ° eine Steigung von 8,75 % und 30 ° von 57,74 %.
| Steigung | Winkel | Promille | Verhältnis | Höhe auf 1 km |
|---|---|---|---|---|
| 1 % | 0,57 ° | 10 ‰ | 1 : 100 | 10 m |
| 2 % | 1,15 ° | 20 ‰ | 1 : 50 | 20 m |
| 3 % | 1,72 ° | 30 ‰ | 1 : 33,33 | 30 m |
| 5 % | 2,86 ° | 50 ‰ | 1 : 20 | 50 m |
| 6 % | 3,43 ° | 60 ‰ | 1 : 16,67 | 60 m |
| 8 % | 4,57 ° | 80 ‰ | 1 : 12,5 | 80 m |
| 10 % | 5,71 ° | 100 ‰ | 1 : 10 | 100 m |
| 12 % | 6,84 ° | 120 ‰ | 1 : 8,33 | 120 m |
| 15 % | 8,53 ° | 150 ‰ | 1 : 6,67 | 150 m |
| 20 % | 11,31 ° | 200 ‰ | 1 : 5 | 200 m |
| 25 % | 14,04 ° | 250 ‰ | 1 : 4 | 250 m |
| 30 % | 16,7 ° | 300 ‰ | 1 : 3,33 | 300 m |
| 50 % | 26,57 ° | 500 ‰ | 1 : 2 | 500 m |
| 100 % | 45 ° | 1.000 ‰ | 1 : 1 | 1.000 m |
Höhenunterschied durch waagerechte Länge teilen und mal 100 nehmen, dann hast du die Steigung in Prozent. Beispiel: 16 m Höhe auf 200 m Strecke ergeben 16 ÷ 200 × 100 = 8 %. Den Winkel liefert der Arkustangens: arctan(0,08) = 4,57 °.
10 m Höhenunterschied auf 100 m waagerechter Strecke, also 1 m auf 10 m oder ein Verhältnis von 1 : 10. Als Winkel sind das 5,71 °.
Steigung in % = Höhe ÷ waagerechte Länge × 100. Beide Werte müssen in derselben Einheit sein. Hast du die schräge Länge entlang der Rampe gemessen, rechnest du die waagerechte Länge zuerst mit dem Satz des Pythagoras aus: √(schräge Länge² − Höhe²).
Winkel = arctan(Prozent ÷ 100). 12 % ergeben arctan(0,12) = 6,84 °, 25 % ergeben 14,04 °. Auf dem Taschenrechner heißt die Funktion tan⁻¹ oder atan und muss auf Grad (DEG) stehen.
Prozent = tan(Winkel) × 100. 10 ° sind 17,63 %, 30 ° sind 57,74 %, 45 ° genau 100 %. Ab 45 ° wird die Prozentzahl größer als 100, bei 90 ° wäre sie unendlich.
Mit dem Steigungsdreieck: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Für P₁(1|2) und P₂(4|8) ist m = (8 − 2) ÷ (4 − 1) = 2. Den y-Achsenabschnitt erhältst du mit b = y₁ − m × x₁, hier 0, also y = 2x.
Üblich sind 1,5 bis 2 % vom Haus weg. Bei einer 4 m tiefen Terrasse liegt die Außenkante damit 6 bis 8 cm tiefer als am Haus. Weniger als 1 % reicht meist nicht, damit Wasser zuverlässig abläuft.
Die Steigung ist das Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechter Strecke. In Prozent: Steigung = Höhe ÷ waagerechte Länge × 100. Eine Straße, die auf 200 m Strecke 16 m ansteigt, hat 16 ÷ 200 × 100 = 8 % Steigung. Wichtig ist die waagerechte Länge, nicht die Länge entlang der Straße oder Rampe. Wer die schräge Länge gemessen hat, wählt im Rechner „schräg gemessen"; er rechnet die Grundlinie dann über den Satz des Pythagoras aus. Bei flachen Steigungen bis etwa 10 % ist der Unterschied kleiner als ein halbes Prozent.
Prozent und Grad hängen über den Tangens zusammen: Winkel = arctan(Prozent ÷ 100) und Prozent = tan(Winkel) × 100. Deshalb sind 100 % Steigung nicht 90 °, sondern 45 °: Auf 1 m Strecke geht es 1 m nach oben. Ein senkrechter Anstieg hätte unendlich viele Prozent.
Bei sehr flachen Gefällen wie Rohrleitungen oder Bahnstrecken rechnet man in Promille (‰) oder als Verhältnis. 1 % sind 10 ‰ und entsprechen 1 : 100, also 1 cm Höhenunterschied auf 1 m. Ein Gefälle von 1 : 50 sind 2 %, 1 : 200 sind 0,5 % oder 5 ‰.
In der Mathematik ist die Steigung m einer Geraden der Faktor in y = m·x + b. Aus zwei Punkten P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) ergibt sie sich als m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), das Steigungsdreieck. Beispiel: P₁(1|2) und P₂(4|8) ergeben m = 6 ÷ 3 = 2 und b = 2 − 2 × 1 = 0, also y = 2x. Der Steigungswinkel ist arctan(m), hier 63,43 °. Eine negative Steigung fällt, m = 0 ist waagerecht, bei gleichem x ist die Gerade senkrecht und hat keine Steigung. Der Rechner zeigt Steigung, Geradengleichung und Winkel. Weitere Winkeleinheiten rechnet der Winkel-Umrechner, Längen auf Plänen der Maßstabsrechner.