Calculadoras online grátis
Equação do 2º grau pela fórmula de Bhaskara: delta, raízes e vértice, passo a passo
A fórmula de Bhaskara resolve ax² + bx + c = 0 em dois passos: primeiro o delta, Δ = b² − 4ac, depois x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. Em x² − 5x + 6 = 0 o delta é 25 − 24 = 1, então x′ = (5 + 1) ÷ 2 = 3 e x″ = (5 − 1) ÷ 2 = 2. Com Δ = 0 há uma raiz dupla, e com Δ < 0 nenhuma raiz real.
Para resolver ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero, calcule primeiro o delta: Δ = b² − 4ac. Se Δ for positivo há duas raízes, x′ = (−b + √Δ) ÷ 2a e x″ = (−b − √Δ) ÷ 2a; se for zero, uma raiz dupla x = −b ÷ 2a; se for negativo, nenhuma raiz real. Em x² − 4x + 3 = 0, Δ = 4, então x′ = 3; x″ = 1.
x² − 5x + 6 = 0
Decimais com vírgula ou ponto, frações aceitas (por exemplo −3/4). Escreva 0 para um termo que não aparece.
| Equação | Delta Δ | Raízes |
|---|---|---|
| x² − 4x − 12 = 0 | 64 | x′ = 6; x″ = −2 |
| x² − 4x − 5 = 0 | 36 | x′ = 5; x″ = −1 |
| x² − 4x = 0 | 16 | x′ = 4; x″ = 0 |
| x² − 4x + 3 = 0 | 4 | x′ = 3; x″ = 1 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | x′ = x″ = 2 (raiz dupla) |
| x² − 4x + 5 = 0 | −4 | nenhuma raiz real (z = 2 ± i) |
| x² − 4x + 8 = 0 | −16 | nenhuma raiz real (z = 2 ± 2i) |
É toda equação que pode ser escrita como ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. O expoente 2 é o que lhe dá o nome. Ela tem no máximo duas raízes reais, e o gráfico da função correspondente é uma parábola. Em x² − 5x + 6 = 0, a = 1, b = −5 e c = 6, e as raízes são 2 e 3.
Delta é o discriminante, calculado por Δ = b² − 4ac. Ele diz quantas raízes existem antes de terminar a conta: com Δ > 0 são duas raízes reais, com Δ = 0 uma raiz dupla e com Δ < 0 nenhuma raiz real. Em x² − 5x + 6 = 0, Δ = 25 − 24 = 1, então há duas raízes.
Depois do delta, aplique x = (−b ± √Δ) ÷ 2a: o sinal de mais dá x′ e o de menos dá x″. Em x² − 5x + 6 = 0 temos √1 = 1, então x′ = (5 + 1) ÷ 2 = 3 e x″ = (5 − 1) ÷ 2 = 2. Conferindo: 3² − 5 × 3 + 6 = 0 e 2² − 5 × 2 + 6 = 0.
Serve para achar os valores de x que zeram uma equação do 2º grau, sem tentativa e erro. Na prática aparece em lançamento de projéteis, área de terrenos e problemas de juros. Se um terreno retangular tem 5 metros a mais de comprimento que de largura e 150 m² de área, x² + 5x − 150 = 0 dá x = 10 metros.
É aquela em que falta o termo b, o termo c ou os dois. Sem c, põe-se x em evidência: x² − 5x = 0 vira x(x − 5) = 0, então x = 0 ou x = 5. Sem b, basta isolar: x² − 9 = 0 dá x = ±3. A fórmula de Bhaskara também resolve esses casos — escreva 0 no coeficiente que falta.
O x do vértice é −b ÷ 2a e o y é −Δ ÷ 4a. Em x² − 5x + 6, x = 5 ÷ 2 = 2,5 e y = −1 ÷ 4 = −0,25, ou seja V(2,5; −0,25). Como a é positivo, a parábola abre para cima e o vértice é o ponto de mínimo; com a negativo seria o ponto de máximo.
A soma das raízes é −b ÷ a e o produto é c ÷ a. Em x² − 5x + 6 a soma é 5 e o produto é 6: procuram-se dois números que somem 5 e multipliquem 6, que são 2 e 3. Funciona bem com raízes inteiras pequenas; quando não sai de cabeça, a fórmula de Bhaskara resolve sempre.
Escreva os três coeficientes de ax² + bx + c = 0. A conta tem dois passos: primeiro o discriminante, Δ = b² − 4ac, depois x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. Em x² − 5x + 6 = 0 temos Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1, então x′ = (5 + 1) ÷ 2 = 3 e x″ = (5 − 1) ÷ 2 = 2.
O sinal do delta já mostra quantas raízes existem. Com Δ > 0 são duas raízes reais diferentes, e a parábola corta o eixo x em dois pontos. Com Δ = 0 há uma raiz dupla e a parábola apenas encosta no eixo: em x² − 4x + 4 = 0, Δ = 16 − 16 = 0 e x′ = x″ = 2. Com Δ < 0 não há raiz real: em x² − 4x + 5 = 0, Δ = −4, e as soluções são os números complexos 2 − i e 2 + i.
Quando falta o termo b ou o termo c, há caminhos mais curtos. Em x² − 9 = 0 basta isolar: x² = 9, x = ±3. Em x² − 5x = 0 põe-se x em evidência: x(x − 5) = 0, então x = 0 ou x = 5. A fórmula de Bhaskara também resolve esses casos e dá o mesmo resultado — escreva 0 no coeficiente que não aparece.
Sem calcular as raízes dá para saber a soma e o produto delas: soma = −b ÷ a e produto = c ÷ a. Em x² − 5x + 6 a soma é 5 e o produto é 6, e os números que somam 5 e multiplicam 6 são 2 e 3. O vértice da parábola fica em x = −b ÷ 2a e y = −Δ ÷ 4a: aqui V(2,5; −0,25), o ponto de mínimo porque a é positivo.