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Résoudre ax² + bx + c = 0 : discriminant, solutions, forme canonique et sommet
Pour résoudre ax² + bx + c = 0, calculez le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ est positif, il y a deux solutions x₁ = (−b − √Δ) ÷ 2a et x₂ = (−b + √Δ) ÷ 2a ; si Δ est nul, une solution double x₀ = −b ÷ 2a ; si Δ est négatif, aucune solution réelle. Exemple : x² − 5x + 6 = 0 donne Δ = 25 − 24 = 1, donc x₁ = 2 et x₂ = 3.
Pour résoudre ax² + bx + c = 0, avec a non nul, calculez le discriminant Δ = b² − 4ac. S'il est positif, l'équation a deux solutions x₁ = (−b − √Δ) ÷ 2a et x₂ = (−b + √Δ) ÷ 2a ; s'il est nul, une solution double x₀ = −b ÷ 2a ; s'il est négatif, aucune solution réelle. Exemple : pour x² − 4x + 3 = 0, Δ = 4, donc x₁ = 1 ; x₂ = 3.
x² − 5x + 6 = 0
Nombres décimaux avec virgule ou point, fractions acceptées (par exemple −3/4). Écrivez 0 pour un terme absent.
| Équation | Discriminant Δ | Solutions |
|---|---|---|
| x² − 4x − 12 = 0 | 64 | x₁ = −2 ; x₂ = 6 |
| x² − 4x − 5 = 0 | 36 | x₁ = −1 ; x₂ = 5 |
| x² − 4x = 0 | 16 | x₁ = 0 ; x₂ = 4 |
| x² − 4x + 3 = 0 | 4 | x₁ = 1 ; x₂ = 3 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | x₀ = 2 (solution double) |
| x² − 4x + 5 = 0 | −4 | aucune solution réelle (z = 2 ± i) |
| x² − 4x + 8 = 0 | −16 | aucune solution réelle (z = 2 ± 2i) |
Mettez l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0, relevez a, b et c, puis calculez le discriminant Δ = b² − 4ac. Selon son signe, il y a deux solutions, une seule ou aucune solution réelle. Exemple : 2x² + 3x − 2 = 0 donne Δ = 9 + 16 = 25, donc x₁ = (−3 − 5) ÷ 4 = −2 et x₂ = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5.
Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0 avec a différent de 0. Ses solutions se calculent avec le discriminant Δ = b² − 4ac : x = (−b ± √Δ) ÷ 2a lorsque Δ est positif ou nul. Par exemple, pour x² + 2x − 3 = 0, Δ = 4 + 12 = 16 et x = (−2 ± 4) ÷ 2, soit −3 et 1.
Si Δ est positif, calculez x₁ = (−b − √Δ) ÷ 2a et x₂ = (−b + √Δ) ÷ 2a. Pour 3x² − 12x + 9 = 0 : Δ = 144 − 108 = 36 et √Δ = 6, donc x₁ = (12 − 6) ÷ 6 = 1 et x₂ = (12 + 6) ÷ 6 = 3. Si Δ est nul, la seule solution est x₀ = −b ÷ 2a ; s'il est négatif, aucune solution réelle.
C'est une équation où l'inconnue x apparaît au carré, sous la forme ax² + bx + c = 0 avec a différent de 0. Elle a au plus deux solutions : les abscisses des points où la parabole d'équation y = ax² + bx + c coupe l'axe des abscisses. Exemples : x² = 9 a pour solutions −3 et 3, et 2x² − x = 0 a pour solutions 0 et 0,5.
Une fonction du second degré, f(x) = ax² + bx + c, se représente par une parabole tournée vers le haut si a est positif et vers le bas si a est négatif. Résoudre f(x) = 0 revient à chercher où la parabole coupe l'axe horizontal. Pour x² − 4x + 5, Δ = 16 − 20 = −4 : la parabole, de sommet (2 ; 1), reste au-dessus de l'axe et l'équation n'a aucune solution réelle.
Appliquez Δ = b² − 4ac en gardant les signes des coefficients. Pour 2x² − 3x − 5 = 0 : a = 2, b = −3 et c = −5, donc Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49. Comme Δ est positif, l'équation a deux solutions : x₁ = (3 − 7) ÷ 4 = −1 et x₂ = (3 + 7) ÷ 4 = 2,5.
Saisissez les coefficients a, b et c de l'équation ax² + bx + c = 0 : le calculateur donne le discriminant, les solutions exactes ou arrondies et le détail du calcul. Il indique aussi la forme canonique, le sommet de la parabole, la forme factorisée, la somme et le produit des racines. Les coefficients peuvent être décimaux ou fractionnaires, comme −3/4.
| Discriminant | Solutions | Forme factorisée |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux solutions x₁ = (−b − √Δ) ÷ 2a et x₂ = (−b + √Δ) ÷ 2a | a(x − x₁)(x − x₂) |
| Δ = 0 | une solution double x₀ = −b ÷ 2a | a(x − x₀)² |
| Δ < 0 | aucune solution réelle, deux solutions complexes (−b ± i√(−Δ)) ÷ 2a | pas de factorisation dans ℝ |
Toute fonction f(x) = ax² + bx + c peut s'écrire f(x) = a(x − α)² + β, avec α = −b ÷ 2a et β = −Δ ÷ 4a. Le point S(α ; β) est le sommet de la parabole : un minimum si a est positif, un maximum si a est négatif. Pour f(x) = 2x² − 3x − 5, α = 0,75 et β = −6,125, donc f(x) = 2(x − 0,75)² − 6,125.
Quand l'équation a des solutions réelles, elles vérifient x₁ + x₂ = −b ÷ a et x₁ × x₂ = c ÷ a. Ces relations servent à vérifier un résultat ou à trouver une racine évidente : pour x² − 5x + 6 = 0, les deux nombres de somme 5 et de produit 6 sont 2 et 3. Pour 2x² − 3x − 5 = 0, −1 est une racine évidente et l'autre vaut (c ÷ a) ÷ (−1) = 2,5.