2〜6個の整数の最大公約数・最小公倍数と素因数分解
カンマやスペースで区切った2〜6個の整数（1兆以下）から、最大公約数と最小公倍数を求めます。2つの数はユークリッドの互除法、3つ以上は2つずつ順に計算し、素因数分解による求め方と公約数の一覧も表示します。
ユークリッドの互除法か素因数分解で求めます。互除法では大きい数を小さい数で割り、割った数を余りで割ることを繰り返し、割り切れたときの割る数が最大公約数です。24と36なら 36 ÷ 24 = 1 余り 12、24 ÷ 12 = 2 余り 0 で12です。
2つの数なら a × b ÷ 最大公約数 で求めます。24と36は最大公約数が12なので 24 × 36 ÷ 12 = 72 です。素因数分解で、出てくる素因数を多いほうの個数だけ掛けても求められます。
a を b で割った余りを r とすると、a と b の最大公約数は b と r の最大公約数に等しい、という性質をくり返し使う方法です。1071と1029なら 1071 ÷ 1029 = 1 余り 42、1029 ÷ 42 = 24 余り 21、42 ÷ 21 = 2 余り 0 で、最大公約数は21です。
小さい素数 2、3、5、7… で割り切れるだけ割っていきます。84 ÷ 2 = 42、42 ÷ 2 = 21、21 ÷ 3 = 7 なので 84 = 2² × 3 × 7 です。
2つの正の整数では a × b = 最大公約数 × 最小公倍数 が成り立ちます。84 × 126 = 10,584、42 × 252 = 10,584 です。3つ以上の数ではこの関係は成り立ちません。
公約数は最大公約数の約数です。84と126の最大公約数は42なので、公約数は 1、2、3、6、7、14、21、42 の8個です。
使えます。84/126 は分子と分母を最大公約数42で割って 2/3 に約分できます。1/12 と 1/18 は最小公倍数36を分母にして 3/36 と 2/36 に通分します。
最大公約数は、すべての数を割り切れる最も大きい整数です。
大きいほうの数を小さいほうの数で割り、次は割った数を余りで割る、という操作を余りが0になるまで続けます。84と126なら 126 ÷ 84 = 1 余り 42、84 ÷ 42 = 2 余り 0 なので、最大公約数は42です。
84 = 2² × 3 × 7、126 = 2 × 3² × 7 です。共通する素因数を少ないほうの個数だけ掛けて 2 × 3 × 7 = 42 になります。
最小公倍数は、すべての数の倍数になる最も小さい正の整数です。素因数分解では、出てくる素因数を多いほうの個数だけ掛けます：2² × 3² × 7 = 252。2つの数なら a × b ÷ 最大公約数 でも求められ、84 × 126 ÷ 42 = 252 です。
2つずつ順に求めます。12、18、30なら、12と18の最大公約数6と30から最大公約数は6、12と18の最小公倍数36と30から最小公倍数は180です。
共通する素因数がないときで、互いに素といいます。8 = 2³ と 15 = 3 × 5 は最大公約数が1で、最小公倍数は 8 × 15 = 120 です。
約分や、同じ大きさに分ける問題では最大公約数、通分や、周期がそろう時期を求める問題では最小公倍数を使います。
このページでは1以上の整数を対象にしています。数学では −12 と 18 の最大公約数を正の6とするのが一般的です。