Calcolatrici online gratuite
Deviazione standard e varianza per popolazione e campione
Il calcolo della deviazione standard e della varianza funziona sia per un’intera popolazione (σ) sia per un campione (s). La deviazione standard misura quanto i valori si discostano dalla media; per un campione si divide per n − 1 (correzione di Bessel) invece che per n, così la stima non è distorta.
Si calcola la media dei dati, si sottrae la media da ogni valore, si elevano al quadrato le differenze e se ne fa la somma; questa somma va divisa per il numero di osservazioni (popolazione) o per il numero di osservazioni meno uno (campione), e infine si estrae la radice quadrata.
In Excel si usa =DEV.ST.C(intervallo) per un campione e =DEV.ST.P(intervallo) per l'intera popolazione; nelle versioni in inglese le funzioni corrispondenti sono STDEV.S e STDEV.P.
La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è la radice quadrata della media dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica. Per un campione si divide la somma dei quadrati degli scarti per il numero di dati diminuito di uno, poi si estrae la radice.
La deviazione standard percentuale, detta anche coefficiente di variazione, si ottiene dividendo la deviazione standard per la media aritmetica e moltiplicando il risultato per cento. Serve a confrontare la dispersione di serie di dati con medie o unità di misura diverse.
La devianza è la somma dei quadrati degli scarti di ogni valore dalla media aritmetica, cioè Σ(xᵢ − x̄)². Dividendola per il numero di osservazioni si ottiene la varianza, dalla cui radice quadrata deriva la deviazione standard.
La varianza è la media dei quadrati degli scarti dalla media, mentre la deviazione standard è la sua radice quadrata. La differenza pratica sta nell'unità di misura: la varianza è espressa in unità al quadrato, la deviazione standard nella stessa unità dei dati originali.
La deviazione standard misura quanto i singoli dati si disperdono attorno alla media, mentre l'errore standard misura quanto varia la media campionaria da campione a campione. L'errore standard si ottiene dividendo la deviazione standard per la radice quadrata della numerosità del campione, quindi diminuisce al crescere dei dati.
Sì, la deviazione standard è per definizione la radice quadrata (positiva) della varianza. Per questo riporta la misura della dispersione nella stessa unità dei dati di partenza.
La deviazione standard è una delle misure statistiche più importanti e utilizzate in assoluto: indica quanto i valori di un insieme di dati si discostano dalla loro media. In parole semplici, ci dice se i dati sono concentrati attorno al valore centrale oppure molto dispersi. Questo calcolatore di deviazione standard gratuito elabora istantaneamente sia la deviazione standard di popolazione che quella di campione, mostrando anche varianza e media aritmetica. È lo strumento ideale per studenti, ricercatori, insegnanti, analisti e chiunque lavori con dati numerici ogni giorno.
Prima di tutto è fondamentale capire la distinzione tra le due versioni della deviazione standard, perché scegliere quella sbagliata può portare a conclusioni errate.
Il nostro calcolatore mostra entrambi i risultati affiancati, così puoi scegliere quello appropriato alla tua situazione senza dover fare due calcoli separati.
Ecco le formule complete utilizzate dallo strumento:
Il primo passo è sempre calcolare la media (μ per la popolazione, x̄ per il campione):
Media = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
σ² = Σ(xᵢ − μ)² / n
Si calcola la differenza tra ciascun valore e la media, si eleva al quadrato ogni differenza, si sommano tutti i quadrati e si divide per il numero totale di elementi n.
s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
La formula è identica a quella di popolazione, tranne per il denominatore che diventa n − 1 per correggere la sottostima della variabilità reale.
In entrambi i casi, la deviazione standard è semplicemente la radice quadrata della varianza:
σ = √σ² (popolazione) s = √s² (campione)
Internamente, il calcolatore utilizza l'algoritmo di Welford, un metodo di calcolo in un'unica passata che garantisce elevata stabilità numerica anche con set di dati molto grandi o con valori estremi. Questo evita gli errori di arrotondamento tipici dei metodi a due passate.
Un professore vuole capire quanto sono variati i voti della sua classe in un compito in classe. I 6 studenti hanno ottenuto: 7, 8, 6, 9, 7, 5. Inserendo questi valori, il calcolatore restituisce una media di 7,00, una varianza di campione di circa 1,60 e una deviazione standard di campione di circa 1,26. Questo significa che i voti si discostano mediamente di 1,26 punti dalla media. Un valore basso indica che la classe è abbastanza omogenea nella preparazione.
Un responsabile qualità misura il diametro (in millimetri) di 8 componenti metallici prodotti da un macchinario: 49,8 — 50,1 — 50,0 — 49,9 — 50,2 — 49,7 — 50,1 — 50,0. Poiché questi pezzi rappresentano un campione della produzione giornaliera, si usa la deviazione standard di campione. Il risultato è circa 0,16 mm: una variabilità molto ridotta che indica un processo produttivo preciso e stabile. Se la deviazione fosse alta, sarebbe necessario ricalibra il macchinario.
Un investitore registra i rendimenti mensili percentuali del proprio portafoglio negli ultimi 12 mesi: 2,1 — 3,5 — −1,2 — 4,0 — 1,8 — −0,5 — 3,2 — 2,7 — 0,9 — 1,5 — 4,1 — −2,0. La deviazione standard di campione risulta circa 1,95%. In finanza, questo valore rappresenta la volatilità del portafoglio: maggiore è la deviazione standard, maggiore è il rischio associato all'investimento. Confrontando questo valore con altri strumenti finanziari, l'investitore può fare scelte più consapevoli.
Devi usare la deviazione standard di popolazione (σ) solo quando disponi letteralmente di tutti i dati esistenti per il fenomeno che stai analizzando. Ad esempio, se stai analizzando i voti di tutti gli studenti di una determinata scuola e non ti interessa generalizzare a scuole diverse, allora stai lavorando con l'intera popolazione. In quasi tutti gli altri contesti — sondaggi, esperimenti scientifici, analisi finanziarie, controllo qualità — i tuoi dati sono un campione, e quindi dovresti usare la deviazione standard di campione (s) che divide per n − 1.
La varianza è la media degli scarti quadratici dalla media: essendo calcolata elevando al quadrato le differenze, il suo valore è espresso nell'unità di misura al quadrato dei dati originali (ad esempio, se i dati sono in metri, la varianza sarà in metri quadrati). La deviazione standard è semplicemente la radice quadrata della varianza, e ha il vantaggio di essere espressa nella stessa unità di misura dei dati originali, rendendola molto più intuitiva e interpretabile direttamente. Per questo motivo, nella pratica si preferisce quasi sempre comunicare la deviazione standard piuttosto che la varianza.
Non c'è un limite fisso al numero di valori che puoi inserire. Il calcolatore è progettato per gestire sia piccoli set di dati (anche solo 2 o 3 valori) sia dataset più estesi con decine o centinaia di numeri. Grazie all'uso dell'algoritmo di Welford, il calcolo rimane preciso e stabile indipendentemente dalla dimensione del dataset o dall'entità dei valori inseriti, evitando errori numerici che possono presentarsi con i metodi tradizionali a due passate. Ricorda però che sono necessari almeno 2 valori per calcolare la deviazione standard di campione, poiché altrimenti il denominatore n − 1 sarebbe uguale a zero.